こちらの摂動論の動画で説明してます。
設定
一次元調和振動子のハミルトニアンが
$$H_0 = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{2}m \omega^2x^2$$
となり、無摂動状態のエネルギー固有値は
$$E^{(0)}_n = \hbar \omega \left(n + \frac{1}{2} \right)$$
と与えられる。
また、生成消滅演算子は
$$a^{\dagger} = \sqrt{\frac{m \omega}{2\hbar}}\left(x – \frac{ip}{m \omega} \right)$$
$$a = \sqrt{\frac{m \omega}{2\hbar}}\left(x + \frac{ip}{m \omega} \right)$$
と定義され、固有ケットを\(|n \rangle \)に対して
$$\begin{align} a^{\dagger}|n \rangle &= \sqrt{n+1} |n+1 \rangle \\ a|n \rangle &=\sqrt{n} |n-1\rangle \end{align}$$
を満たす。
二次摂動
摂動ハミルトニアンを、
$$H’ = eE x$$
とする。ここで、生成消滅演算子を用いて、
$$x = \sqrt{\frac{\hbar}{2m \omega}}(a + a^{\dagger})$$
と書ける。
今回は、二次摂動を求める。二次摂動は
$$E^{(2)}_n = \sum^{\infty}_{m=0} \frac{|\langle n | H’ |m \rangle |^2}{E^{(0)}_n – E^{(0)}_m}$$
で求められる。ここで
$$ \begin{align} \langle n | H’ |m \rangle &= eE\sqrt{\frac{\hbar}{2m \omega}} \langle n | (a + a^{\dagger}) |m\rangle\\ &= eE \sqrt{\frac{\hbar}{2m \omega}} (\sqrt{m}\delta_{n,m-1} + \sqrt{m+1}\delta_{n,m+1})\end{align}$$
となるので、\(m = n\pm 1\)の場合を考えれば良い。よって
$$ \begin{align} E^{(2)}_n &= e^2E^2\frac{\hbar}{2m \omega}\left\{ \frac{n+1}{\hbar\omega (n+1/2) – \hbar\omega (n+3/2)} + \frac{n-1}{\hbar\omega (n+1/2) – \hbar\omega (n-1/2)}\right\}\\&= e^2E^2\frac{\hbar}{2m \omega} \left(\frac{n+1}{-\hbar\omega}+\frac{n-1}{\hbar\omega} \right )\\ &= -\frac{e^2E^2}{2m\omega^2}\end{align}$$
となる。（第一項目は\(m = n+1\),第二項目は\(m = n-1\)の場合であり、それ以外はクロネッカーのデルタより0）
従って、二次の摂動によるエネルギー固有値は
$$\begin{align}E_n &=E^{(0)}_n +E^{(1)}_n +E^{(2)}_n \\ &=\hbar\omega \left(n+\frac{1}{2}\right) – \frac{e^2E^2}{2m\omega^2}\end{align}$$
と書ける。
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