球形コンデンサ（内球接地）の静電容量

問題設定

　内半径\(a\)の導体球と外半径\(b\)の導体球殻からなる同心球コンデンサがあるとし、外球殻に電荷\(+Q\)を与える。また、内球を接地する。真空の誘電率\(\varepsilon_0\)とする。

解答

　外球殻に電荷\(+Q\)を与えたとき、内球の電荷は\(-Q\)とはならない。これは球殻の内外表面で、それぞれ「設置された内球」と「無限遠」が基準となるためである。（つまり、「球殻内表面と内球表面」、「球殻外表面と無限遠」の並列回路となる。）

　そこで、内球に生じる電荷を\(-Q’\)とおく。

　半径\(r\)の同心球を考え、ガウスの法則を適用する。

• \(a \le r \le b \)のとき

$$4\pi r^2 E(r) = -\frac{Q’}{\varepsilon_0}$$

$$E(r) = -\frac{Q’}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$$

• \( b < r \)のとき

$$4\pi r^2 E(r) = \frac{Q-Q’}{\varepsilon_0}$$

$$E(r) = \frac{Q-Q’}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$$

　まず、内球の電位は

$$\begin{align} \phi (a) &= -\int^a_{\infty} E(r)dr \\ &= -\int^b_{\infty} \frac{Q-Q’}{4\pi\varepsilon_0 r^2}dr -\int^a_{b} \left(-\frac{Q’}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \right)dr \\ &= \frac{Q-Q’}{4\pi\varepsilon_0} \frac{1}{b} + \frac{Q’}{4\pi\varepsilon_0}\left( \frac{1}{b}- \frac{1}{a}\right)\\ &= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left( \frac{Q}{b}- \frac{Q’}{a}\right)\end{align} $$

となる。続いて、外球殻の電位は

$$\begin{align} \phi (b) &= -\int^b_{\infty}E(r)dr \\ &= -\int^b_{\infty} \frac{Q-Q’}{4\pi\varepsilon_0 r^2}dr \\ &= \frac{Q-Q’}{4\pi\varepsilon_0} \frac{1}{b}\end{align}$$

となる。ここで、内球は接地されているので\(\phi (a) = 0\)である。これより、

$$Q’ = \frac{a}{b}Q$$

が得られる。よって電位差\(V\)は

$$V = \phi(b)-\phi(a) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{b-a}{b^2}$$

　静電容量\(C\)は

$$C = \frac{Q}{V} = 4\pi\varepsilon_0\frac{b^2}{b-a}$$