マクスウェル方程式
マクスウェル方程式は以下の４つの式である。
$$\begin{align}\nabla \cdot {\bf D} &= \rho \tag{1} \\ \nabla \cdot {\bf B} &=0 \tag{2} \\ \nabla \times {\bf E} &= \frac{\partial {\bf B}}{\partial t} \tag{3} \\ \nabla \times {\bf H} &= {\bf j} + \frac{\partial {\bf D}}{\partial t} \tag{4}\end{align}$$
ここで、\({\bf D} = \varepsilon{\bf E} ,{\bf B} = \mu{\bf H},{\bf j} = \rho{\bf E} \)である。
今回は、このマクスウェル方程式をローレンツゲージにおけるマクスウェル方程式
$$\begin{align}\left(\nabla^2 – \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right)\phi &= -\frac{\rho}{\varepsilon} \\ \left(\nabla^2 – \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right){\bf A} &= -\mu{\bf j}\end{align}$$
に書き換える。
電磁ポテンシャルを定義
任意のベクトル\({\bf A}\)に対し、
$$\nabla \cdot (\nabla \times {\bf A}) = 0$$
が成り立つ。これと式(2)より、\({\bf A}\)を
$${\bf B} = \nabla \times {\bf A} \tag{2′}$$
と定義する。この\({\bf A}\)をベクトルポテンシャルと呼ぶ。
ベクトルポテンシャルの物理的な話はこちらの動画で行っています。
式(2′)を式(3)に代入すると
$$\begin{align}\nabla\times {\bf E} + \frac{\partial }{\partial t} (\nabla \times {\bf A}) &=0 \\ \nabla \times \left( {\bf E} + \frac{\partial {\bf A} }{\partial t}\right) &= 0\tag{3′}\end{align}$$
と書ける。
次に、任意のスカラー\({\phi}\)に対して、
$$\nabla \times (\nabla\phi) = 0$$
が成り立つ。これと先ほどの式(3′)より、\({\phi}\)を
$${\bf E} + \frac{\partial {\bf A} }{\partial t} = – \nabla\phi \tag{3”}$$
と定義する。この\({\phi}\)をスカラーポテンシャルと呼ぶ。
ここで、式(2′)より
$${\bf H} = \frac{1}{\mu} {\bf B} = \frac{1}{\mu} \nabla\times{\bf A}$$
となる。また、式(3”)より
$${\bf D} = \varepsilon \left(- \nabla\phi – \frac{\partial {\bf A} }{\partial t} \right)$$
が成り立つ。これらを式(4)に代入すると
$$\nabla \times (\nabla\times{\bf A}) = \mu{\bf j} – \varepsilon\mu \frac{\partial }{\partial t}\left(\nabla\phi + \frac{\partial {\bf A} }{\partial t}\right)$$
が得られる。ここで、任意のベクトル\({\bf A}\)に対し、
$$\nabla \times (\nabla\times{\bf A}) = \nabla(\nabla\cdot{\bf A}) – \nabla^2 {\bf A}$$
が成り立つので、先ほどの式を整理すると
$$\left(\nabla^2 – \varepsilon\mu\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right){\bf A} – \nabla \left(\nabla\cdot{\bf A} + \varepsilon\mu\frac{\partial \phi}{\partial t} \right) = -\mu{\bf j}$$
となり、マクスウェル方程式を電磁ポテンシャルを用いて表すことができた。
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