【院試解答】平成31年度　九大院理学府　物理学専攻　II[A]

問１

$0 < r < a$ のとき

　導体内なので電場は発生しない→$E(r) = 0$

$a < r < b$ のとき

　導体球表面に電荷$Q_1$が分布するので、Gaussの法則より

$$\begin{align}
4\pi r^2 E(r) &= \frac{Q_1}{\varepsilon_0} \\
E(r) &= \frac{Q_1}{4\pi \varepsilon_0 r^2}
\end{align}$$

$b < r < c$ のとき

　球殻内表面に$-Q_1$の電荷が発生するが、導体内なので電場は存在しない→$E(r) = 0$

$c < r $ のとき

　球殻外表面に$Q_1+Q_2$の電荷が生ずるので、

$$\begin{align}
4\pi r^2 E(r) &= \frac{Q_1+Q_2}{\varepsilon_0} \\
E(r) &= \frac{Q_1+Q_2}{4\pi \varepsilon_0 r^2}
\end{align}$$

問２

$c < r $ のとき

$$\begin{align}
V(r)&= -\int^{r}_{\infty}E(r)dr \\
&= \frac{Q_1+Q_2}{4\pi \varepsilon_0 } \int^{\infty}_{r}\frac{1}{r^2}dr \\
&= \frac{Q_1+Q_2}{4\pi \varepsilon_0 r}
\end{align}$$

となる。また、$b<r<c$は導体内なので電位差はない。よって球殻外表面電位$V_c$及び内表面電位$V_b$は

$$V_c = V_b = V(r=c) = \frac{Q_1+Q_2}{4\pi \varepsilon_0 c} $$

$a < r < b$ のとき

$$\begin{align}
V(r)&= \int^{\infty}_{r}E(r)dr \\
&= \int^{b}_{r}E(r)dr + \int^{\infty}_{c}E(r)dr\\
&= \frac{Q_1}{4\pi \varepsilon_0 }\left( \frac{1}{r } – \frac{1}{b} \right) + V_c\\
&= \frac{Q_1}{4\pi \varepsilon_0 } \left( \frac{1}{r } – \frac{1}{b} +\frac{1}{c} \right) + \frac{Q_2}{4\pi \varepsilon_0 c}
\end{align}$$

となる。よって、内球導体の表面電位$V_a$は

$$V_a = V(r=a) = \frac{Q_1}{4\pi \varepsilon_0 } \left( \frac{1}{a } – \frac{1}{b} +\frac{1}{c} \right) + \frac{Q_2}{4\pi \varepsilon_0 c} $$

問３

　$Q_2 = -Q_1$より、$V_b = V_c = 0$となる。導体球-球殻間の電位差$V_{ab}$は

$$V_{ab} = V_a – V_b = \frac{Q_1}{4\pi \varepsilon_0 } \left( \frac{1}{a } – \frac{1}{b} \right) = \frac{Q_1(b-a)}{4\pi \varepsilon_0 ab} $$

となるので、静電容量$C$は

$$C = \frac{Q_1}{V_{ab}} = 4\pi \varepsilon_0\frac{ ab}{b-a} $$

問４

　エネルギー密度$u$は

$$u = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 = \frac{Q_1^2}{32\pi^2 \varepsilon_0 r^4}$$

と書ける。よって、微小体積（幅$dr$の球殻）におけるエネルギー$dU$は

$$\begin{align}
dU &= u dV \\
&= \frac{Q_1^2}{32\pi^2 \varepsilon_0 r^4} \cdot 4\pi r^2 dr\\
&= \frac{Q_1^2}{8\pi \varepsilon_0 r^2}dr
\end{align}$$

と書ける。従って、静電エネルギー$U$は

$$\begin{align}
U &= \int dU \\
&= \frac{Q_1^2}{8\pi \varepsilon_0 }\int^{b}_{a} \frac{1}{r^2}dr\\
&= \frac{Q_1^2}{8\pi \varepsilon_0 }\left( \frac{1}{a } – \frac{1}{b} \right)\\
&= \frac{Q_1^2(b-a)}{8\pi \varepsilon_0 ab}
\end{align}$$

となる。これは、前問の静電容量を用いて

$$U = \frac{Q_1^2}{2C} = \frac{1}{2}QV_{ab}$$

と書けるので、コンデンサーに蓄えられたエネルギーと解釈出来る。

問５

　導体球の半径を$a + \delta a$に変化させたとき、エネルギー変化は

$$\begin{align} \delta U = \frac{\partial U}{\partial a} \delta a = – \frac{Q_1^2}{8\pi \varepsilon_0 a^2} \delta a \end{align}$$

となる。

[別解]

　半径変化後のエネルギー$U’ (= U + \delta U)$は

$$\begin{align}
U’ &= \frac{Q_1^2}{8\pi \varepsilon_0 }\left( \frac{1}{a + \delta a } – \frac{1}{b} \right) \\
&\simeq \frac{Q_1^2}{8\pi \varepsilon_0 }\left[ \frac{1}{a }\left(1 – \frac{\delta a}{a} \right) – \frac{1}{b} \right] \\
&= U – \frac{Q_1^2}{8\pi \varepsilon_0 a^2} \delta a
\end{align}$$

となる。よって $\delta U =-\frac{Q_1^2}{8\pi \varepsilon_0 a^2} \delta a $

問６

　力$F$は

$$F = – \frac{\delta U}{\delta a} = – \frac{Q_1^2}{8\pi \varepsilon_0 a^2}$$

となるので、引力が働く。