問題
積分
$$ J = \int^{\infty} _{-\infty} \frac{e^{ipx}}{p^2 -k^2 -i\delta} dp$$
を求めよ。ただし、\(x\)は実数、\(k\)は正の実数、\(\delta\)は正の無限小とする。
解答
複素積分
$$I = \int_{\Gamma} \frac{e^{izx}}{z^2 -k^2 -i\delta} dz $$
を考える。
$$f(z) = \frac{e^{izx}}{z^2 -k^2 -i\delta} $$
とすると、\(f(z)\)の極は（\(\delta \ll 1\)を利用する）
$$\begin{align}
z^2 -k^2 -i\delta &= 0\\
z_{\pm} &= \pm\sqrt{k^2 + i \delta}\\
&\approx \pm k\left(1 + i\frac{\delta}{2k} \right)
\end{align}$$
である。\(\delta \)は無限小なため、\(\frac{\delta}{2k} \to \frac{\delta}{k}\)と置き換える（極は\(z_{\pm} = k + i{\delta}\)）。
さて、積分経路を考える。\(x>0\)と\(x<0\)の場合に分けて上図のような積分経路を考えると、
$$I = \int_{\Gamma_{\pm}} \frac{e^{izx}}{z^2 -k^2 -i\delta} dz + \int^R_{-R} \frac{e^{ipx}}{p^2 -k^2 -i\delta} dp$$
と書ける。第一項は\(x>0\)と\(x<0\)それぞれの場合の円弧上での積分であり、第二項は実軸（\(p\)軸）上の積分である。
まず、第一項の\(\Gamma_+\)の場合の積分を評価する。円弧上では\(z = Re^{i\theta}\)とかけ、\(dz = iRe^{i\theta}d\theta\)とできるので
$$\begin{align}
\left| \int_{\Gamma_{+}} \frac{e^{izx}}{z^2 -k^2 -i\delta} dz \right|&=\left| \int^{\pi}_{0} \frac{e^{iRe^{i\theta}x}}{R^2 -k^2 -i\delta} iRe^{i\theta}d\theta \right|\\
& = \left| \int^{\pi}_{0} \frac{Re^{-R\sin\theta x}}{R^2 -k^2 -i\delta} d\theta \right|\\
& < \left| \int^{\pi}_{0} {Re^{-R\sin\theta x}} d\theta \right| \\
&= \left|2 \int^{\pi/2}_{0} {Re^{-R\sin\theta x}} d\theta \right| \\
&\le \left|2 \int^{\pi/2}_{0} {Re^{-\frac{2R\theta x}{\pi}}} d\theta \right|\\
& = \frac{\pi}{Rx}(1-e^{-Rx}) \to 0 \hspace{3mm} (R\to \infty)
\end{align}$$
となる。よって、\(R\to \infty\)にすると0に収束する。同様に\(\Gamma_-\)の場合でも0に収束するので、\(R\to \infty\)の極限で、
$$I = \int^\infty_{-\infty} \frac{e^{ipx}}{p^2 -k^2 -i\delta} dp = J$$
となる。
続いて、留数定理により複素積分を計算する。\(\Gamma_+\)（\(x>0\)）の場合、\(z_+ = k+i\delta\)が積分領域内に含まれるので
$$\begin{align} I_{+} &= \lim_{\delta\to 0}2\pi i\mathrm{Res}_{z = z_+}f(z)\\
&= \lim_{\delta\to 0}2\pi i \lim_{z\to z_+}(z-z_+) \frac{e^{izx}}{(z-z_+)(z-z_-)}\\
&= \lim_{\delta\to 0}2\pi I \frac{e^{i(k+i\delta)x}}{2k+2i\delta}\\
&= i\pi \frac{e^{ikx}}{k}
\end{align} $$
となる。\(\Gamma_-\)（\(x<0\)）の場合も同様に（経路が逆向きであることに注意）
$$\begin{align} I_{-} &= -\lim_{\delta\to 0}2\pi i\mathrm{Res}_{z = z_-}f(z)\\
&= -\lim_{\delta\to 0}2\pi i \lim_{z\to z_-}(z-z_-) \frac{e^{izx}}{(z-z_+)(z-z_-)}\\
&= -\lim_{\delta\to 0}2\pi I \frac{e^{i(-k-i\delta)x}}{-2k-2i\delta}\\
&= i\pi \frac{e^{-ikx}}{k}
\end{align} $$
となる。したがって、
$$ J = \int^{\infty} _{-\infty} \frac{e^{ipx}}{p^2 -k^2 -i\delta} dp = i\pi \frac{e^{ik|x|}}{k} $$
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