【院試解答】2021年度　横国大理工学府　学科試験II 問題１

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類題1（2021年阪大院試、(7)に類似）

類題2（令和元年東工大院試、少し発展的？）

$$v_r = \dot{r}$$
$$v_{\phi} = r\dot{\phi}$$

$$L = mr^2 \dot{\phi}$$
$$K = \frac{1}{2}m (\dot{x}^2 + \dot{y}^2) = \frac{1}{2}m (\dot{r}^2 + (r\dot{\phi})^2)$$

　式(2)より

$$m\frac{d}{dt}(r^2\dot{\phi} ) = 0 \Leftrightarrow mr^2 \dot{\phi}= L \hspace{3mm} ({\rm const})$$

が得られる。これを式(1)に代入して\(\dot{\phi}\)を消去し、整理すると

$$\begin{align}
m \left(\ddot{r} – r\frac{L^2}{m^2r^4} \right) &= f(r) \\
m \left(\ddot{r} – \frac{L^2}{m^2r^3} \right) &= f(r) \tag{3}
\end{align}$$

となる。

$$\begin{align}
m\ddot{r} &= \frac{L^2}{m r^3} + f(r) \\
&= -\frac{d}{dr} \left[\frac{L^2}{2m r^2} + U(r) \right]
\end{align}$$

と書ける。よって

$$U_{eff} (r) = \frac{L^2}{2m r^2} + U(r) $$

$$f(r) = – \frac{b}{r^2}$$

　\(r = r_0\)一定なので\(\ddot{r} = 0\)となる。よって式(3)より

$$\begin{align}
\frac{L^2}{mr_0^3}= \frac{b}{r_0^2} \Leftrightarrow r_0 = \frac{L^2}{mb}
\end{align}$$

$$K = \frac{1}{2}m (r_0\dot{\phi})^2 = \frac{mb^2}{2L^2}$$

　\(r = r_0 + \rho\)（\(\rho \ll r_0\)）とする。これを式(3)に代入すると

$$\begin{align}
m \ddot {\rho} &= \frac{L^2}{m} \frac{1}{(r_0 + \rho)^3} – \frac{b}{(r_0 + \rho)^2} \\
&\simeq \frac{L^2}{m}\frac{1}{r_0^3}\left(1 – \frac{3\rho}{r_0} \right) -\frac{b}{r_0^2}\left(1 – \frac{2\rho}{r_0} \right) \\
&= \frac{L^2}{mr_0^3} -\frac{b}{r_0^2} – \frac{3L^2}{mr_0^4}\rho + \frac{2b}{r_0^3} \rho
\end{align}$$

となる。ここで

$$(1 +x)^{\alpha} \simeq 1 + \alpha x \hspace{4mm} (x \ll 1)$$

を用いた。右辺第1項と第2項は、問５の円運動の関係になっているので、消去される。すると

$$ \begin{align}
m\ddot {\rho} &\simeq – \frac{1}{r_0^3} \left(\frac{3L^2}{mr_0} – 2b \right) \rho \\
&= – \frac{m^3b^3}{L^6} \cdot b\rho\\
&= – \frac{m^3b^4}{L^6} \rho
\end{align}$$

となる。これは単振動の式となっている。角振動数\(\omega\)は

$$\omega = \frac{mb^2}{L^3}$$

である。従って、周期\(T\)は

$$T = \frac{2\pi}{\omega} =\frac{2\pi L^3}{mb^2}$$

である。