孤立導体球の静電容量

問題設定

　真空中に半径\(a\)の導体球が存在し、これに電荷\(Q\)を与える。

真空の誘電率\(\varepsilon_0\)とする。

解答

　導体であるので、球内部に電場は存在しない。よって、電荷は導体球表面に一様分布する。このとき、電荷の面密度\(\sigma\)は

$$\sigma = \frac{Q}{4\pi a^2}$$

と書ける。

　電荷分布は球対称であるので、半径\(r\)の同心球を考え、ガウスの法則を適用する。ガウスの法則は

$$\int_S {\bf E}\cdot d{\bf S} = \frac{1}{\varepsilon}\int_V \rho dV$$

である。

• 球内部\(r<a\)の場合

　半径\(r\)の同心球内に電荷は」存在しないので

$$\int_S {\bf E}\cdot d{\bf S} = 0 $$

よって

$${\bf E} = 0$$

• 球外部\(r>a\)の場合

　ガウスの法則を適用すると

$$4\pi r^2 E = \frac{1}{\varepsilon_0}Q$$

よって

$${\bf E} = E {\bf e}_r = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r^2}{\bf e}_r$$

となる（\({\bf e}_r\)は動径方向の単位ベクトル）。

　静電ポテンシャル\(\phi\)は定義より、

$$\phi (r) = – \int^{r}_{\infty} E(r) dr$$

と計算できる（基準は無限遠方にとった）。

• 球内部\(r<a\)の場合

$$\begin{align}\phi (r) &= \int^{\infty}_{r} E(r) dr \\& =\underbrace{ \int^{a}_{r} E(r) dr }_{=0}+\int^{\infty}_{a} E(r) dr \\ &= \int^{\infty}_{a}\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r^2} dr \\&= \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 a} \end{align}$$

• 球外部\(r>a\)の場合

$$\begin{align}\phi (r) &= \int^{\infty}_{r} E(r) dr \\ &= \int^{\infty}_{r}\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r^2} dr \\&= \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r} \end{align}$$

　静電容量\(C\)は、

$$C = \frac{Q}{\phi(a)- \phi(\infty)} = \frac{Q}{\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 a}} = 4\pi\varepsilon_0 a$$

となる。

まとめ

　半径\(a\)の導体球

• 電場

$$\begin{align}E(r)= \left\{\begin{matrix}0&(r<a)\\ \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}&(r>a)\end{matrix}\right. \end{align}$$

• 静電ポテンシャル

$$\begin{align}\phi(r)= \left\{\begin{matrix} \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 a}&(r<a)\\ \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r}&(r>a)\end{matrix}\right. \end{align}$$

• 静電容量

$$C = 4\pi\varepsilon_0 a$$

宣伝

　導体球と誘電体球殻（東工大院試の問題 : 今回よりも難しい）

問題文は動画の始めに載せてあります。