【摂動論】調和振動子と電場(1次摂動)

物理

こちらの摂動論の動画で説明してます。

設定

一次元調和振動子のハミルトニアンが

$$H_0 = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{2}m\omega^2x^2$$

となり、無摂動状態のエネルギー固有値は

$$E^{(0)}_n = \hbar \omega \left(n + \frac{1}{2} \right)$$

と与えられる。

また、生成消滅演算子は

$$a^{\dagger} = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(x – \frac{ip}{m\omega} \right)$$

$$a = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(x + \frac{ip}{m\omega} \right)$$

と定義され、固有ケットを\(|n\rangle \)に対して

$$\begin{align} a^{\dagger}|n\rangle &=\sqrt{n+1} |n+1\rangle \\ a|n\rangle &=\sqrt{n} |n-1\rangle \end{align}$$

を満たす。

一次摂動

摂動ハミルトニアンを、

$$H’ = eE x$$

とする。ここで、生成消滅演算子を用いて、

$$x = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(a + a^{\dagger})$$

と書ける。

今回は、一次摂動を求める。一次摂動は

$$E^{(1)}_n = \langle n | H’ |n\rangle$$

で求められる。これを計算すると

$$ \begin{align} E^{(1)}_n &= \langle n | H’ |n\rangle \\&= eE\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\langle n | (a + a^{\dagger}) |n\rangle\\&= eE\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}} (\sqrt{n}\delta_{n,n-1} + \sqrt{n+1}\delta_{n,n+1})\\&= 0\end{align}$$

となる。

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