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ローレンス条件
前回はマクスウェル方程式を電磁ポテンシャルを用いて表した。
$$\left(\nabla^2 – \varepsilon\mu\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right){\bf A} – \nabla \left(\nabla\cdot{\bf A} + \varepsilon\mu\frac{\partial \phi}{\partial t} \right) = -\mu{\bf j}\tag{5}$$
ここで、前回の記事より
$${\bf D} = \varepsilon \left(- \nabla\phi – \frac{\partial {\bf A} }{\partial t} \right)$$
が成り立つので、これを式(1)
$$\nabla \cdot {\bf D} = \rho \tag{1}$$
に代入すると
$$\begin{align}\nabla \cdot \left(- \varepsilon\nabla\phi – \varepsilon\frac{\partial {\bf A} }{\partial t} \right) &= \rho \\ \Leftrightarrow\nabla^2 \phi + \nabla\cdot \frac{\partial {\bf A} }{\partial t} &= – \frac{1}{\varepsilon}\rho \tag{1′}\end{align}$$
が得られる。
ここで、以下の条件を課す。
$$\nabla \cdot {\bf A} + \varepsilon\mu \frac{\partial \phi}{\partial t} = 0\tag{6}$$
これをローレンス条件と呼ぶ。この条件を用いると、式(5)、式(1′)は
$$\begin{align}\left(\nabla^2 – \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right)\phi &= -\frac{\rho}{\varepsilon} \\ \left(\nabla^2 – \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right){\bf A} &= -\mu{\bf j}\end{align}$$
となり、目的の方程式が得られた。
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