回転座標系

問題設定

　原点を共通とする２つの直交座標系\(S(x,y,z)\)及び\(S'(x’,y’,z’)\)を考える。座標系\(S\)は慣性系である。\(z’\)軸は\(z\)軸と共通であって、座標系\(S’\)は\(z’\)軸の回りに一定の角速度\(\omega\)で回転している。ただし\(z\)軸正の領域から見て反時計回りを正とする。質量\(m\)の質点について考える。

　座標系\(S’\)で観測するとき、座標\((x’,y’,z’)\)に位置する質点の運動方程式を考えよ。

解答

　座標系\(S\)と\(\theta = \omega t\)だけ回転した座標系\(S’\)との変換は

$$\begin{align} \begin{pmatrix}x\\y\\z\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0& 0& 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x’\\y’\\z’\\ \end{pmatrix}\end{align}$$

である。ここで慣性系ではNewtonの運動方程式が成り立つので\(m \ddot{{\bf r}} = {\bf F}\)、即ち

$$\begin{align} m\begin{pmatrix} \ddot{x}\\ \ddot{y}\\ \ddot{z}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F_x\\ F_y\\ F_z\end{pmatrix}\end{align}$$

と書ける。これを座標系\(S’\)で観測すると

$$\begin{align}\ddot{{\bf r}} &= \frac{d^2}{dt^2} \begin{pmatrix} \cos\theta x’ – \sin\theta y’ \\ \sin\theta x’ + \cos\theta y’ \\ z’ \end{pmatrix} \\ &= \frac{d}{dt} \begin{pmatrix} – \dot{\theta}\sin\theta x’ + \cos\theta \dot{x’} – \dot{\theta}\cos\theta y’ – \sin\theta \dot{y’}\\ \dot{\theta}\cos\theta x’+ \sin\theta \dot{x’} -\dot{\theta}\sin\theta y’ + \cos\theta \dot{y’} \\ \dot{z’} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} – \dot{\theta}^2\cos\theta x’ -2 \dot{\theta}\sin\theta \dot{x’} + \cos\theta \ddot{x’} +\dot{\theta}^2\sin\theta y’ – 2\dot{\theta}\cos\theta \dot{y’} – \sin\theta \ddot{y’}\\ – \dot{\theta}^2\sin\theta x’ +2\dot{\theta}\cos\theta \dot{x’}+ \sin\theta \ddot{x’} – \dot{\theta}^2\cos\theta y’ -2\dot{\theta}\sin\theta\dot{y’}+ \cos\theta \ddot{y’} \\ \ddot{z’}\end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} (-\dot{\theta}^2 x’ + \ddot{x’} – 2\dot{\theta}\dot{y’})\cos\theta +(\dot{\theta}^2y’ – \ddot{y’} – 2\dot{\theta}\dot{x’})\sin\theta \\(-\dot{\theta}^2y’ + \ddot{y’} + 2\dot{\theta}\dot{x’})\cos\theta +(-\dot{\theta}^2x’ + \ddot{x’} – 2\dot{\theta}\dot{y’})\sin\theta \\\ddot{z’} \end{pmatrix}\end{align}$$

となる。また、力は

$$\begin{align} \begin{pmatrix}F_x’ \\ F_y’ \\ F_z’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0& 0& 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} F_x\\ F_y \\ F_z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta F_x +\sin\theta F_y \\ -\sin\theta F_x +\cos\theta F_y \\ F_z\end{pmatrix}\end{align}$$

と変換できる。これらを用いて

$$\begin{align}F_x’ &= m\left\{(-\dot{\theta}^2 x’ + \ddot{x’} – 2\dot{\theta}\dot{y’})\cos\theta +(\dot{\theta}^2y’ – \ddot{y’} – 2\dot{\theta}\dot{x’})\sin\theta \right\} \cos\theta\\ &+ m\left\{(-\dot{\theta}^2y’ + \ddot{y’} + 2\dot{\theta}\dot{x’})\cos\theta +(-\dot{\theta}^2x’ + \ddot{x’} – 2\dot{\theta}\dot{y’})\sin\theta\right\} \sin\theta \\ &= m(-\dot{\theta}^2 x’ + \ddot{x’} – 2\dot{\theta}\dot{y’})\end{align}$$

$$\begin{align} F_y’ &= m(-\dot{\theta}^2y’ + \ddot{y’} + 2\dot{\theta}\dot{x’}) \\ F_z’ &= m\ddot{z}’\end{align}$$

が得られる。よって、\(S’\)系から見た運動方程式は

$$\begin{align} m\begin{pmatrix} \ddot{x}’\\ \ddot{y}’\\ \ddot{z}’\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F_x’ + m\dot{\theta}^2x’ + 2m\dot{\theta}\dot{y}’\\ F_y’ + m\dot{\theta}^2y’ – 2m\dot{\theta}\dot{x}’\\ F_z’\end{pmatrix}\end{align}$$

となる。

　右辺第2項成分\({\bf F} =(m\dot{\theta}^2x’,m\dot{\theta}^2y’,0)\)は遠心力と呼ばれ、\(z’\)軸（回転軸）から離れる方向に働く。右辺第3項成分\({\bf F}_C =(2m\dot{\theta}\dot{y},- 2m\dot{\theta}\dot{x}’,0)\)はコリオリ力と呼ばれ、\(S’\)系から見た速度を\({\bf v}’\)とすると

$${\bf F}_C\cdot{\bf v}’ = (2m\dot{\theta}\dot{y},- 2m\dot{\theta}\dot{x}’,0)\cdot (x’,y’,z’) =0 $$

となるので、\(S’\)系から見た速度と垂直な方向に働く。