【院試解答】2021年度　横国大理工学府　学科試験I 問題2

$$\begin{align}
A=
\begin{pmatrix}
1&2&1\\
2&-2&-2\\
1&-2&1
\end{pmatrix}
\end{align}$$

(1)〜(3)

　固有値を$\lambda$、$3\times 3$単位行列を$E$として

$$\begin{align}
\det |A – \lambda E| &= (1-\lambda)(-2-\lambda)(1-\lambda)-4-4 + (2+\lambda) -4(1-\lambda) – 4(1-\lambda) \\
&= -\lambda^3 + 12\lambda -16\\
&= -(\lambda – 2)^2 (\lambda + 4) = 0
\end{align}$$

となるので、固有値は

$$\lambda = 2,2,-4$$

となる。ここで固有ベクトルを$(x,y,z)$として求める。

$\lambda_1 =\lambda_2 =2$のとき

$$-x + 2y + z = 0$$

となり、この方程式の２つの解が直交するように選ぶと

$$\begin{align} (x,y,z) = (1,0,1),(1,1,-1)\end{align}$$

が解となる。よって固有ベクトルは

$$\begin{align}
\vec{v}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
1\\
0\\
1
\end{pmatrix}
,\hspace{4mm} \vec{v}_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
-1
\end{pmatrix}
\end{align}$$

である。

$\lambda_3 =-4$のとき

$$-5x + 2y + z = 0$$

となり、これを満たすのは

$$(x,y,z) = (-1,2,1)$$

である。よって固有ベクトルは

$$\begin{align}
\vec{v}_1 = \frac{1}{\sqrt{6}}
\begin{pmatrix}
-1\\
2\\
1
\end{pmatrix}
\end{align}$$

である。

(4)

$$\begin{align} \det A &= -2 -4 – 4 + 2 – 4 -4 \\
&= -16\end{align}$$

(5)

$$xA^4 + yA^2 = E$$

　この方程式を考えるため、$A^4,A^2$を計算する。

行列の冪乗はコチラの動画で扱っています。

　正則行列$P$を

$$\begin{align}
P=
\begin{pmatrix}
1&1&-1\\
0&1&2\\
1&-1&1
\end{pmatrix}
\end{align}$$

と定義する（固有ベクトルを並べたもの）。これを用いると、行列$A$は

$$B = P^{-1}AP$$

と対角化できる。ただし

$$\begin{align}
B=
\begin{pmatrix}
\lambda_1&0&0\\
0&\lambda_2&0\\
0&0&\lambda_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2&0&0\\
0&2&0\\
0&0&-4
\end{pmatrix}
\end{align}$$

である。ここから、

$$A = P B P^{-1}$$

と変形でき、両辺を$n$乗すると

$$\begin{align}
A^n &= PBP^{-1}PBP^{-1}PBP^{-1}\cdots \\
&= P B^n P^{-1}
\end{align}$$

となる。よって

$$A^n = P B^n P^{-1}$$

を計算すれば良い。ここで、

$$\begin{align}
P^{-1}=\frac{1}{6}
\begin{pmatrix}
3&0&3\\
2&2&-2\\
-1&2&1
\end{pmatrix}
\end{align}$$

である（掃き出し法など用いる）。また、行列$B^n$は

$$\begin{align}
B^n=
\begin{pmatrix}
\lambda_1^n&0&0\\
0&\lambda_2^n&0\\
0&0&\lambda_3^n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2^n&0&0\\
0&2^n&0\\
0&0&(-4)^n
\end{pmatrix}
\end{align}$$

となる。これらを用いて、

$$\begin{align}
A^4 &= P B^4 P^{-1}\\
&= 8
\begin{pmatrix}
7&-10&5\\
-10&22&10\\
-5&10&7
\end{pmatrix}
\end{align}$$

が得られ、

$$\begin{align}
A^2 &= P B^2 P^{-1}\\
&= 2
\begin{pmatrix}
3&-2&-1\\
-2&6&2\\
-1&2&3
\end{pmatrix}
\end{align}$$

が得られる。よって

$$xA^4 + yA^2 = E$$
$$\begin{align}
8x
\begin{pmatrix}
7&-10&5\\
-10&22&10\\
-5&10&7
\end{pmatrix}
+ 2y
\begin{pmatrix}
3&-2&-1\\
-2&6&2\\
-1&2&3
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}
\end{align}$$