$$\begin{align}
A=
\begin{pmatrix}
1&2&1\\
2&-2&-2\\
1&-2&1
\end{pmatrix}
\end{align}$$
(1)〜(3)
固有値を\(\lambda\)、\(3\times 3\)単位行列を\(E\)として
$$\begin{align}
\det |A – \lambda E| &= (1-\lambda)(-2-\lambda)(1-\lambda)-4-4 + (2+\lambda) -4(1-\lambda) – 4(1-\lambda) \\
&= -\lambda^3 + 12\lambda -16\\
&= -(\lambda – 2)^2 (\lambda + 4) = 0
\end{align}$$
となるので、固有値は
$$\lambda = 2,2,-4$$
となる。ここで固有ベクトルを\((x,y,z)\)として求める。
- \(\lambda_1 =\lambda_2 =2\)のとき
$$-x + 2y + z = 0$$
となり、この方程式の2つの解が直交するように選ぶと
$$\begin{align} (x,y,z) = (1,0,1),(1,1,-1)\end{align}$$
が解となる。よって固有ベクトルは
$$\begin{align}
\vec{v}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
1\\
0\\
1
\end{pmatrix}
,\hspace{4mm} \vec{v}_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
-1
\end{pmatrix}
\end{align}$$
である。
- \(\lambda_3 =-4\)のとき
$$-5x + 2y + z = 0$$
となり、これを満たすのは
$$(x,y,z) = (-1,2,1)$$
である。よって固有ベクトルは
$$\begin{align}
\vec{v}_1 = \frac{1}{\sqrt{6}}
\begin{pmatrix}
-1\\
2\\
1
\end{pmatrix}
\end{align}$$
である。
(4)
$$\begin{align} \det A &= -2 -4 – 4 + 2 – 4 -4 \\
&= -16\end{align}$$
(5)
$$xA^4 + yA^2 = E$$
この方程式を考えるため、\(A^4,A^2\)を計算する。
行列の冪乗はコチラの動画で扱っています。
正則行列\(P\)を
$$\begin{align}
P=
\begin{pmatrix}
1&1&-1\\
0&1&2\\
1&-1&1
\end{pmatrix}
\end{align}$$
と定義する(固有ベクトルを並べたもの)。これを用いると、行列\(A\)は
$$B = P^{-1}AP$$
と対角化できる。ただし
$$\begin{align}
B=
\begin{pmatrix}
\lambda_1&0&0\\
0&\lambda_2&0\\
0&0&\lambda_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2&0&0\\
0&2&0\\
0&0&-4
\end{pmatrix}
\end{align}$$
である。ここから、
$$A = P B P^{-1}$$
と変形でき、両辺を\(n\)乗すると
$$\begin{align}
A^n &= PBP^{-1}PBP^{-1}PBP^{-1}\cdots \\
&= P B^n P^{-1}
\end{align}$$
となる。よって
$$A^n = P B^n P^{-1}$$
を計算すれば良い。ここで、
$$\begin{align}
P^{-1}=\frac{1}{6}
\begin{pmatrix}
3&0&3\\
2&2&-2\\
-1&2&1
\end{pmatrix}
\end{align}$$
である(掃き出し法など用いる)。また、行列\(B^n\)は
$$\begin{align}
B^n=
\begin{pmatrix}
\lambda_1^n&0&0\\
0&\lambda_2^n&0\\
0&0&\lambda_3^n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2^n&0&0\\
0&2^n&0\\
0&0&(-4)^n
\end{pmatrix}
\end{align}$$
となる。これらを用いて、
$$\begin{align}
A^4 &= P B^4 P^{-1}\\
&= 8
\begin{pmatrix}
7&-10&5\\
-10&22&10\\
-5&10&7
\end{pmatrix}
\end{align}$$
が得られ、
$$\begin{align}
A^2 &= P B^2 P^{-1}\\
&= 2
\begin{pmatrix}
3&-2&-1\\
-2&6&2\\
-1&2&3
\end{pmatrix}
\end{align}$$
が得られる。よって
$$xA^4 + yA^2 = E$$
$$\begin{align}
8x
\begin{pmatrix}
7&-10&5\\
-10&22&10\\
-5&10&7
\end{pmatrix}
+ 2y
\begin{pmatrix}
3&-2&-1\\
-2&6&2\\
-1&2&3
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}
\end{align}$$
を満たす\(x,y\)を計算すれば良い。例えば(1,1)と(1,2)より
$$\begin{align}
56x + 6y &= 1 \\
-80x – 4y &= 0
\end{align}$$
が成り立ち、連立させて解くと
$$(x,y) = (- \frac{1}{64},\frac{5}{16})$$
が得られる(他の場所でも同様である)。
コメント
質問です。
(1)~(3)固有値を出した後、「この方程式の2つの解が直交するように選ぶと」のところは、どうやって求めているのでしょうか。
また、V2→は、1/√3(1, 1, -1)になりませんか?
すみません、検算用の方を打ち込んでました。
仰るとおりV2= 1/√3(1, 1, -1)で正しいです。