微分方程式３ （Clairaut型）

問題

(y’ = p)として

$$y = xp + \frac{a}{p}$$

解法

一般的な解法は

微分方程式１（Clairaut型）

微分方程式$$y = xy' + f(y')$$解法\(y' = p\)とおいた$$y = xp + f(p)$$について考える。\(x\)で微分すると$$y...

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2021.04.28

両辺を(x)で微分すると

$$p = p + xp’ – \frac{ap’}{p^2}$$

$$p’ \left( x – \frac{a}{p^2} \right) = 0$$

となる。

(p’ = 0 )より(p = c ({ \rm const}) )となる。これを微分方程式に代入すると

$$y = cx + \frac{a}{c}$$

となる。

$$ x – \frac{a}{p^2} = 0$$

より、

$$ p^2 =\frac{a}{x}$$

となる。これを元の微分方程式の2乗したものに代入すると

$$\begin{align}y^2 &= p^2x^2 +2ax +\frac{a^2}{p^2}\\&= a^2 +2ax + x^2 \\&=(a+x)^2\end{align} $$

となる。