電気双極子

物理

 

電気双極子 : 大きさの等しい正負の電荷が無限小の間隔で対となって存在する状態のこと

問題設定

 真空中において、微小な距離\(d\)だけ離れた2点にそれぞれ電荷\(Q\),\(-Q\)が置かれている。十分遠く離れた距離\(r\)(\(\gg d\))にある点Pに作る電場及び電位を求めよ。

電位

 まず、点Pにおける電位\(\phi \)は

$$\phi= \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0}\left(\frac{1}{r_1} – \frac{1}{r_2}\right)$$

と書ける。ここで、\(r_1\)及び\(r_2\)は余弦定理を用いて

$$\begin{align}r_1 &= \sqrt{r^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2 – 2r\frac{d}{2}\cos\theta}\\ r_2 &= \sqrt{r^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2 + 2r\frac{d}{2}\cos\theta}\end{align}$$

である。これらは

$$\begin{align}\sqrt{r^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2 \mp 2r\frac{d}{2}\cos\theta} &= r\sqrt{1 + \left(\frac{d}{2r}\right)^2 \mp \frac{d}{r}\cos\theta} \end{align}$$

とできるので、

$$\begin{align}\frac{1}{r_{1,2}} & = \frac{1}{r}\left[1 +\left(\frac{d}{2r}\right)^2 \mp \frac{d}{r}\cos\theta\right]^{-1/2} \\ & \approx \frac{1}{r}\left[1 \mp \frac{d}{r}\cos\theta\right]^{-1/2} \\ & \approx \frac{1}{r}\left[1 \pm \frac{d}{2r}\cos\theta\right]\end{align}$$

となる。よって、電位は

$$\begin{align}\phi&= \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0}\left(\frac{1}{r_1} – \frac{1}{r_2}\right)\\& \approx \frac{Qd \cos\theta}{4\pi \varepsilon_0 r^2}\end{align}$$

である。

電気双極子モーメント

 電気双極子モーメント\({\bf p}\)を

$${\bf p} = Q {\bf d}$$

と定義する。\({\bf p}\)、\({\bf d}\)は\({-Q}\)から\({+Q}\)への向きである。これを用いて電位は

$$\phi = \frac{{\bf p} \cdot {\bf r}}{4\pi \varepsilon_0 r^3}$$

と変形できる。

電場

 電場は\({\bf E} = -\nabla \phi\)で求められる。ここで、

$$\begin{align} \nabla ({\bf p} \cdot {\bf r}) &= \nabla (p_x x + p_y y + p_z z)\\ &= (p_x,p_y,p_z)\\ &= {\bf p}\end{align}$$

となる。また、

$$\begin{align}\frac{\partial }{\partial x} \left(\frac{1}{r^3} \right) &= \frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial }{\partial r}\left(\frac{1}{r^3} \right) \\ &= \frac{x}{r} \cdot \left(-\frac{3}{r^4} \right)\\ &= – \frac{3x}{r^5}\end{align} $$

であるので、

$$\begin{align}\nabla \left(\frac{1}{r^3} \right) &= \left( – \frac{3x}{r^5}, -\frac{3y}{r^5},-\frac{3z}{r^5 }\right) \\ &= -\frac{3}{r^5} {\bf r}\end{align} $$

が得られる。故に

$$\begin{align} {\bf E} &= -\nabla \left(\frac{{\bf p} \cdot {\bf r}}{4\pi \varepsilon_0 r^3} \right) \\ &= \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left[\frac{3({\bf p} \cdot {\bf r})}{r^5}{\bf r} – \frac{{\bf p}}{r^3}\right]\end{align}$$

となる。

成分分解

 電場を動径方向と角度方向に成分分解すると

$$\begin{align}E_r &= -\frac{\partial \phi}{\partial r} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{2p\cos\theta}{r^3} \\ E_{\theta} &= -\frac{1}{r}\frac{\partial \phi}{\partial \theta} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{p\sin\theta}{r^3}\end{align}$$

まとめ

  • 電位

$$\phi = \frac{{\bf p} \cdot {\bf r}}{4\pi \varepsilon_0 r^3}$$

  • 電場

$$\begin{align} {\bf E} =\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left[\frac{3({\bf p} \cdot {\bf r})}{r^5}{\bf r} – \frac{{\bf p}}{r^3}\right]\end{align}$$

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