慣性モーメント : 円柱

問題設定
解答
まとめ

問題設定

　半径$R$、高さ$L$、質量$M$の一様な円柱が存在する。円柱の密度$\rho$とすると、

$$M = \rho \pi R^2 L$$

と書ける。$z$軸は円柱底面の中心を通り、$x$軸は$z$軸に垂直な円柱の中心を通る直線とする。

解答

$z$軸まわりの慣性モーメント

　慣性モーメントは、微小質量$dm$を用いて

$$I = \int r^2 dm$$

で計算できる。まず、円柱の微小質量は、円柱座標系を用いて

$$dm = \rho r dr d\theta dz$$

と書ける。よって、$z$軸まわりの慣性モーメント$I_z$は

$$\begin{align}I_z &=\int^R_0 \int^{2\pi}_0 \int^{\frac{L}{2}}_{-\frac{L}{2}} r^2 \cdot \rho r dr d\theta dz \\&= \rho \cdot 2\pi \cdot L \int^R_0 r^3 dr \\ &= \frac{1}{2}\rho \pi R^4 L\\&= \frac{1}{2}MR^2\end{align}$$

となる。

$x$軸まわりの慣性モーメント

　続いて$x$軸まわりの慣性モーメント$I_x$を計算する。$x$軸からの距離$r’$は

$$\begin{align} r’^2 &= y^2 + z^2\\&=r^2\sin^2\theta + z^2\end{align}$$

と書けるので、

$$\begin{align}I_z &= \int r’^2 dm \\ &=\int^R_0 \int^{2\pi}_0 \int^{\frac{L}{2}}_{-\frac{L}{2}} (r^2\sin^2\theta + z^2)\cdot \rho r dr d\theta dz \\&= \rho\int^R_0 r^3dr\int^{2\pi}_0 \sin^2 \theta d\theta\int^{\frac{L}{2}}_{-\frac{L}{2}} dz+ \rho\int^R_0 rdr \int^{2\pi}_0 d\theta\int^{\frac{L}{2}}_{-\frac{L}{2}} z^2 dz \\ \end{align}$$

となる。ここで

$$\begin{align}\int^{2\pi}_0 \sin^2 \theta d\theta &= \int^{2\pi}_0 \frac{1}{2}(1-\cos 2\theta) d\theta \\ &= \left[\frac{\theta}{2} – \frac{1}{4}\sin 2\theta \right]^{2\pi}_0\\ &= \pi\end{align}$$

であるので、

$$\begin{align}I_z &= \rho \cdot\frac{1}{4}R^4 \cdot \pi \cdot L + \rho \cdot\frac{1}{2}R^2 \cdot 2\pi \cdot \frac{1}{12}L^3 \\ & = \rho\pi R^2 L \left(\frac{1}{4}R^2 + \frac{1}{12}L^2\right)\\&=M\left(\frac{1}{4}R^2 +\frac{1}{12}L^2\right)\end{align}$$

が得られる。