$f(x) = x^2$のフーリエ級数

フーリエ級数は$$f(x) = \frac{a_0}{2}+ \sum^{\infty}_{n=1}[a_n\cos nx + b_n\sin nx]$$で求められる。ここで$f(x) = x^2$は偶関数であるので、奇関数$\sin nx$の成分は $0$ となる。よって$b_n = 0$である。故に$$a_m = \frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi} f(x)\cos mxdx$$を求めれば良い。部分積分により

$$\begin{align}\int^{\pi}_{-\pi} x^2 \cos mx dx &= \left[\frac{1}{m}x^2 \sin mx \right]^{\pi}_{-\pi}-\frac{2}{m}\int^{\pi}_{-\pi} x\sin mx dx\\　&=-\frac{2}{m}\left[-\frac{1}{m}x \cos mx \right]^{\pi}_{-\pi} + \frac{2}{m^2}\int^{\pi}_{-\pi} \cos mx dx\\ &= \frac{2}{m^2}(\pi \cos m\pi + \pi \cos (-m\pi)) \\&= 4\pi\frac{(-1)^m}{m^2}\end{align}$$となるので、$$a_m =\frac{4(-1)^m}{m^2} $$となる。ただし$m$は自然数である。また、$m = 0$のときは$$a_0 = \frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi}x^2 dx \Leftrightarrow \frac{a_0}{2} = \frac{\pi^2}{3}$$ である。従って、$f(x)=x^2$のフーリエ級数展開

$$x^2 = \frac{\pi^2}{3} + \sum^{\infty}_{n=1}\frac{4(-1)^n}{n^2}\cos nx$$である。