微分方程式１（Clairaut型）

微分方程式

$$y = xy’ + f(y’)$$

$y’ = p$とおいた

$$y = xp + f(p)$$

について考える。$x$で微分すると

$$y’ = p = xp’ + p + p’f'(p)$$

$$p'(x + f'(p)) = 0$$

となるので、$p’ = 0$と$x + f'(p) = 0$になる。

一般解

$p’ = 0$より、$p = c{\rm const}$となる。これを微分方程式に代入すると

$$y = cx + f(c)$$

となる。

特異解

$x + f'(p) = 0$を解き、元の微分方程式と連立して$p$を消去することで、特異解が得られる。