問題
\(y’ = p\)として
$$y = xp + \sqrt{1+p^2}$$
解法
一般的な解法は
両辺を\(x\)で微分すると
$$p = p + xp’ + \frac{pp’}{\sqrt{1+p^2}}$$
$$p’ \left( x + \frac{p}{\sqrt{1+p^2}} \right) = 0$$
となる。
一般解
\(p’ = 0 \)より\(p = c ({\rm const}) \)となる。これを微分方程式に代入すると
$$y = cx + \sqrt{1+c^2}$$
となる。
特異解
$$ x + \frac{p}{\sqrt{1+p^2}} = 0$$
より、
$$ {\sqrt{1+p^2}} = -\frac{p}{x}$$
となる。これを元の微分方程式に代入すると
$$y = px -\frac{p}{x} $$
$$p =\frac{xy}{x^2-1} $$
となる。したがって
$$x^2 + y^2 = 1$$
となる。
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