デルタ関数型ポテンシャル（$V(x) = -V_0\delta (x) $）

　デルタ関数型ポテンシャルの問題はよく出題される。

　例えば令和２年度北大院試や、平成24年度東工大院試

　今回はこのようなデルタ関数型ポテンシャルの処理をまとめる。

デルタ関数型ポテンシャル
$V(x) = -V_0\delta (x) \hspace{4mm}(V_0 > 0)$の場合（束縛状態）
まとめ

デルタ関数型ポテンシャル

　ポテンシャルの形は、デルタ関数を用いて

$$V(x) = A\delta (x) \hspace{4mm}(A : {\rm const})$$

と書ける。デルタ関数は

$$\begin{align} \delta(x) = \left\{\begin{matrix}\infty &(x=0)\\ 0 & (x\neq 0)\end{matrix}\right.\end{align}$$

となる値を持つ関数である。

$V(x) = -V_0\delta (x) \hspace{4mm}(V_0 > 0)$の場合（束縛状態）

波動関数

　シュレディンガー方程式

$$\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} + V(x) \right)\psi(x) = E\psi(x) \tag{1}$$

　まずは$x\neq 0$の領域で考える。このときポテンシャルは0なので、

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} \psi(x) = E\psi(x) $$

となり、これを解くと

$$\begin{align} \psi(x) = \left\{\begin{matrix}Ae^{\kappa x} +Be^{-\kappa x} &(x>0)\\ Ce^{\kappa x} +De^{-\kappa x} & (x< 0)\end{matrix}\right.\end{align}$$

が得られる。ただし$\kappa = \frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar}$である。（今回束縛状態を議論するので、\(E<0\）である。）

　ここで、波動関数の有界性（無限遠方で0に収束）より、$A=D=0$であることがわかる。また、境界条件より$x=0$で波動関数は連続でなければならないので

$$\begin{align} \psi(x) &= \left\{\begin{matrix} Be^{-\kappa x} &(x>0)\\ Be^{\kappa x} & (x< 0)\end{matrix}\right. \\&= Be^{-\kappa |x|}\end{align}$$

と表すことができる。

　次に規格化定数$B$を求める。規格化条件より

$$\begin{align} \int^{\infty}_{-\infty}|\psi(x)|^2 dx &= |B|^2 \int^{0}_{-\infty} Be^{2\kappa x}dx + |B|^2 \int_{0}^{\infty} Be^{-2\kappa x}dx \\ &= \frac{|B|^2}{\kappa} = 1\end{align}$$

と計算できるので

$$B = \sqrt{\kappa}$$

となる。従って、波動関数は

$$\psi(x) = \sqrt{\kappa}e^{-\kappa |x|}$$

となる。

エネルギー

　波動関数の導関数の境界条件（この記事の式($\star$)）

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\left.\frac{d\psi(x)}{dx}\right|_{x=+0} – \left.\frac{d\psi(x)}{dx}\right|_{x=-0}\right) + A\psi (0) = 0\tag{$\star$}$$

を用いる。$A=-V_0$であり、波動関数を代入すると

$$-\frac{\hbar^2}{2m} \left\{-\sqrt{\kappa}\kappa -\sqrt{\kappa}\kappa\right\}-V_0\sqrt{\kappa}=0$$

$$\kappa = \frac{mV_0}{\hbar^2}$$

が得られる。これと$\kappa = \frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar}$を比較して

$$\frac{mV_0}{\hbar^2} = \frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar}$$

$$E = -\frac{mV_0^2}{2\hbar^2} < 0$$

となる。