A-I
こちらの記事でも説明しています。
(1)
$$\Phi_0 = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r} $$
(2)
点電荷から点Pまでの距離を\(r_1\)とすると、余弦定理より
$$r_1 = \sqrt{r^2 + d^2 – 2rd\cos\theta}$$
と書ける。これを用いて
$$\Phi_1 = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r_1} $$
(3)
$$\begin{align}\frac{1}{r_1} &= \frac{1}{r}\left[1 +\left(\frac{d}{r}\right)^2 – 2\frac{d}{r}\cos\theta\right]^{-1/2}\\ &\simeq \frac{1}{r}\left[1 – 2\frac{d}{r}\cos\theta\right]^{-1/2} \\ &\simeq \frac{1}{r}\left[1 +\frac{d}{r}\cos\theta\right]\end{align}$$
とできるので、
$$\Phi_d = \Phi_1 – \Phi_0 \simeq \frac{qd}{4\pi \varepsilon_0 r^2}\cos\theta$$
(4)
$$\Phi_d = \frac{p}{4\pi \varepsilon_0 r^2}\cos\theta$$
とでき、
$$E_r = -\frac{\partial \Phi_d}{\partial r} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{2p\cos\theta}{r^3}$$
A-II
$${\bf E}_0 = E_0 {\bf e}_z$$
(1)
$$\Phi_u = -E_0z = -E_0r \cos\theta$$
(2)
$$\Phi_d = \frac{p}{4\pi \varepsilon_0 r^2}\cos\theta$$
であり、\(r=a\)でポテンシャルは0なので
$$\Phi = \left( \frac{p}{4\pi \varepsilon_0 a^3} – E_0\right)r \cos\theta = 0$$
が成り立つ。よって
$$ p = 4\pi \varepsilon_0 a^3 E_0$$
(3)
$$E_r = \frac{p\cos\theta}{2\pi \varepsilon_0r^3} $$
であるので、
$$\sigma = \varepsilon_0 E_r(r=a) = \frac{p\cos\theta}{2\pi a^3}$$
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