【院試解答】2020年度　阪大理学研究科　物理　問題3

Youtubeでも説明しています。

また、この問題はこちらの動画を見ると解きやすくなると思います。

$$ \def\bra#1{\mathinner{\left\langle{#1}\right|}} \def\ket#1{\mathinner{\left|{#1}\right\rangle}} \def\braket#1#2{\mathinner{\left\langle{#1}\middle|#2\right\rangle}} $$

I

$$\ket{\frac{3}{2},\frac{3}{2}} = \ket{1,1}\ket{\frac{1}{2},\frac{1}{2}}$$

(1)

$$\frac{\hat{L}_-}{\hbar}|1,1 \rangle = \sqrt{1\cdot (1+1) – 1\cdot (1-1)}|1,0 \rangle = \sqrt{2}|1,0 \rangle$$

同様に、

$$\begin{align}\frac{\hat{L}_-}{\hbar}|1,0 \rangle &= \sqrt{2}|1,-1 \rangle \\ \frac{\hat{S}_-}{\hbar}\ket{\frac{1}{2},\frac{1}{2}} &= \ket{\frac{1}{2},-\frac{1}{2}}\end{align}$$

$$\frac{\hat{L}_-}{\hbar}|1,-1 \rangle = \frac{\hat{S}_-}{\hbar}\ket{\frac{1}{2},\frac{1}{2}} = 0$$

(2)

$$\frac{\hat{J}_-}{\hbar}\ket{\frac{3}{2},\frac{3}{2}}= \frac{\hat{L}_- + \hat{S}_-}{\hbar}|1,1 \rangle\ket{\frac{1}{2},\frac{1}{2}}$$

$$ \sqrt{\frac{3}{2} \left(\frac{3}{2} + 1 \right) – \frac{3}{2} \left(\frac{3}{2} – 1 \right)} \ket{\frac{3}{2},\frac{1}{2}} = \hat{L}_- |1,1 \rangle\ket{\frac{1}{2},\frac{1}{2}} + \hat{S}_-|1,1 \rangle\ket{\frac{1}{2},\frac{1}{2}}$$

$$\sqrt{3}\ket{\frac{3}{2},\frac{1}{2}} = \sqrt{2}|1,0 \rangle\ket{\frac{1}{2},\frac{1}{2}} + |1,1 \rangle\ket{\frac{1}{2},-\frac{1}{2}}$$

$$\ket{\frac{3}{2},\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \left( \sqrt{2}\ket{1,0;\frac{1}{2},\frac{1}{2}} + \ket{1,1;\frac{1}{2},-\frac{1}{2}}\right)$$

これは規格直交性を満たす。

(3)

$$\braket{\frac{3}{2},\frac{1}{2}}{ \frac{1}{2},\frac{1}{2}} = 0$$

を満たせばよいので、

$$\ket{\frac{1}{2},\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \left(\ket{1,0;\frac{1}{2},\frac{1}{2}} – \sqrt{2} \ket{1,1;\frac{1}{2},-\frac{1}{2}}\right)$$

(4)

　問(2)と同様に

$$\hat{J}_-\ket{\frac{1}{2},\frac{1}{2}} = (\hat{L}_- + \hat{S}_-)\frac{1}{\sqrt{3}} \left(\ket{1,0;\frac{1}{2},\frac{1}{2}} – \sqrt{2} \ket{1,1;\frac{1}{2},-\frac{1}{2}}\right)$$

$$\ket{\frac{1}{2},-\frac{1}{2}} =\frac{1}{\sqrt{3}} \left(\ket{1,-1;\frac{1}{2},\frac{1}{2}} – \sqrt{2} \ket{1,0;\frac{1}{2},-\frac{1}{2}}\right)$$

II

$$I = \frac{7}{2}$$

(5)

$$|L-S|\le J \le L + S$$

までとることができ、$L =0 , S = \frac{1}{2}$なので$J = \frac{1}{2}$のみである。また、

$$-J \le m_J \le J$$

までとることができるので、$m_J = \pm\frac{1}{2}$である。

(6)

　前問と同様に考えると

$$|I-J|\le F \le I + J$$

までとることができ、$I = \frac{7}{2} , J = \frac{1}{2}$なので$ F = 3,4$である。

(7)

$$\hat{H} = \kappa \frac{\hat{{\bf I}}\cdot \hat{{\bf J}}}{\hbar^2}$$

　$\hat{{\bf F}} = \hat{{\bf I}}+\hat{{\bf J}}$の両辺を２乗して整理すると

$$\hat{{\bf F}}^2 = (\hat{{\bf I}}+\hat{{\bf J}})^2 = \hat{{\bf I}}^2 + 2\hat{{\bf I}}\cdot \hat{{\bf J}} + \hat{{\bf J}}^2$$

$$\hat{{\bf I}}\cdot \hat{{\bf J}} = \frac{1}{2}(\hat{{\bf F}}^2 – \hat{{\bf I}}^2 – \hat{{\bf J}}^2)$$

となる。よって、

$$\hat{H} = \frac{\kappa}{2\hbar^2}(\hat{{\bf F}}^2 – \hat{{\bf I}}^2 – \hat{{\bf J}}^2)$$

(8)

　問題文より

$$\frac{\hat{{\bf T}}^2}{\hbar^2}\ket{T,m_T} = T(T+1)\ket{T,m_T}$$

が成り立つので、エネルギー固有値$E_F$は

$$E_F = \frac{\kappa}{2}\left\{F(F+1)-I(I+1)-J(J+1) \right\}$$

となる。よって、異なるエネルギー準位間のエネルギー差$\Delta E$は

$$\begin{align}\Delta E = E_{F=4} – E_{F=3} = 4\kappa\end{align}$$

(9)

　放出された光のエネルギーは$E = h\nu$と書ける。よって、

$$\kappa = \frac{1}{4}h\nu \simeq 1 \times 10^{-5} [{\rm eV}]$$

(10)

低磁場領域

　相互作用ハミルトニアン$\hat{H} = \kappa \frac{\hat{{\bf I}}\cdot \hat{{\bf J}}}{\hbar^2}$の固有状態$\ket{F,m_F}$が近似的に良いエネルギー固有状態をあたえる。ここで、$ F = 3,4$なので、それぞれに対応する$ m_F $は

$$\begin{align} m_F =\left\{\begin{matrix} -3,-2,-1,0,1,2,3 & (F =3)\\ -4,-3,-2,-1,0,1,2,3 ,4& (F =4)\end{matrix}\right.\end{align}$$

であるので、9準位と7準位に分裂する。