【院試解答】2019年度 名大理学研究科 物理 I

院試解答

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問1

(a)

 質点には重力のみが働くので、ポテンシャル\(V\)は

$$V = mgy$$

(b)

 全エネルギー\(E\)は

$$E = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2 + \dot{y}^2) + mgy$$

(c)

 ラグラジアン\(L\)は

$$L = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2 + \dot{y}^2) – mgy$$

問2

(a)

 拘束条件\(C(x,y)\)は

$$x^2 + y^2 = a^2 \rightarrow C(x,y) = x^2 + y^2 – a^2 = 0$$

であるので、

$$L’ = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2 + \dot{y}^2) – mgy + \lambda C(x,y) $$

となる。よってEuler-Lagrange方程式に代入すると運動方程式は

$$\begin{align}m\ddot{x} &= 2\lambda x \\ m\ddot{y} &= -mg + 2\lambda y \end{align}$$

(b)

$$\begin{align} \end{align}$$

 \(\frac{d}{dt}E = 0\)を示せば良い。前問の運動方程式も用いて計算すると

$$\begin{align} \frac{d}{dt}E &= \frac{1}{2}m(2\dot{x}\ddot{x} + 2\dot{y}\ddot{y}) + mg\dot{y} \\ &= \dot{x}\cdot 2\lambda x + \dot{y}\cdot (-mg + 2\lambda y) + mg\dot{y} \\ &= 2\lambda (x\dot{x} +y\dot{y} )\end{align}$$

が得られる。ここで、拘束条件を\(t\)で微分すると

$$x\dot{x} +y\dot{y} = 0$$

が得られるので、

$$\frac{d}{dt}E = 0$$

(c)

$$x\dot{x} +y\dot{y} = 0$$

この式をもう一度微分して計算すると

$$\begin{align}\dot{x}^2 +\dot{y}^2 + {x}\ddot{x} + {y}\ddot{y} = 0 \end{align}$$

$$\begin{align}m(\dot{x}^2 +\dot{y}^2) + {x}\cdot 2\lambda x + {y}\cdot (-mg + 2\lambda y) = 0 \end{align}$$

が得られ、\(x^2 + y^2 = a^2\)であるので

$$-m(\dot{x}^2 +\dot{y}^2) + mgy = 2\lambda a^2$$

(d)

 \(\dot{x}^2 +\dot{y}^2\)を消去するために、エネルギー保存を考える。初期条件\(E = mga\)より

$$\frac{1}{2}m(\dot{x}^2 + \dot{y}^2) + mgy = mga$$

$$m(\dot{x}^2 + \dot{y}^2) = 2mg(a-y)$$

であるので、前問の式に代入すると

$$-2mg(a-y) + mgy = 2\lambda a^2$$

$$\lambda = \frac{mg}{2a^2}(3y – 2a)$$

(e)

 \(\lambda\)は質点にかかる抗力を表すので、円盤から離れる場合

$$\lambda = 0$$

(f)

 \(\lambda = 0\)のとき\(y = \frac{2}{3}a\)であり、\(x^2 + y^2 = a^2\)から\(x = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}a\)となる。

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