【院試解答】令和2年度　九大院理学府　物理学専攻　IV[C]

　ハミルトニアンは

$$H = \frac{1}{2m}(p_x^2 + p_y^2 + p_z^2 ) +mgz$$

と書けるので

$$\begin{align}Z_1 &= \frac{1}{h^3}\int\int\int\int\int\int dxdydz dp_x dp_y dp_z e^{-\beta H} \\ &=\frac{1}{h^3}\int^{\infty}_{-\infty}e^{-\frac{\beta}{2m}p_x^2}dp_x\int^{\infty}_{-\infty}e^{-\frac{\beta}{2m}p_y^2}dp_y\int^{\infty}_{-\infty}e^{-\frac{\beta}{2m}p_z^2}dp_z \int dx\int dy \int^{\infty}_{0}e^{-\beta mgz}dz\\&= \frac{1}{h^3} \left( \frac{2\pi m}{\beta}\right)^{\frac{3}{2}}\cdot A \cdot \frac{1}{\beta mg} \\ &= A\frac{k_{{\rm B}}T}{mg}\left( \frac{2\pi m k_{{\rm B}}T}{h^2}\right)^{\frac{3}{2}} \end{align}$$

　粒子は区別できないので

$$Z_N = \frac{1}{N!}Z_1^N = \frac{1}{N!} \left[\frac{A}{mgh^3}(2\pi m)^{\frac{3}{2}} (k_{{\rm B}}T)^{\frac{5}{2}} \right]^N$$

と書ける。よってヘルムホルツの自由エネルギーは

$$\begin{align}F &= -k_{{\rm B}}T \ln Z_N\\ &=-Nk_{{\rm B}}T \ln \frac{1}{N!} \left[\frac{A}{mgh^3}(2\pi m)^{\frac{3}{2}} (k_{{\rm B}}T)^{\frac{5}{2}} \right] \end{align}$$

　まず、エネルギーは

$$E = -\frac{\partial }{\partial \beta}\ln Z_N = \frac{5}{2\beta} = \frac{5}{2}Nk_{{\rm B}}T$$

となるので、比熱は

$$C = \frac{dE}{dT} = \frac{5}{2}Nk_{{\rm B}}$$

　単原子理想気体と比べると、位置エネルギー分だけエネルギーの期待値は上がるので、これにより粒子の比熱を\(k_{{\rm B}}\)だけ大きくしている。

　実際に、高さの期待値\(\langle z \rangle\)は

$$\langle z \rangle = \frac{\int^{\infty}_{0}ze^{-\beta mgz}dz}{\int^{\infty}_{0}e^{-\beta mgz}dz} = \frac{k_{{\rm B}}T}{mg}$$

であるので、位置エネルギーは\(\langle mgz \rangle = k_{{\rm B}}T\)となる。