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問１
(a)
質点には重力のみが働くので、ポテンシャル\(V\)は
$$V = mgy$$
(b)
全エネルギー\(E\)は
$$E = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2 + \dot{y}^2) + mgy$$
(c)
ラグラジアン\(L\)は
$$L = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2 + \dot{y}^2) – mgy$$
問2
(a)
拘束条件\(C(x,y)\)は
$$x^2 + y^2 = a^2 \rightarrow C(x,y) = x^2 + y^2 – a^2 = 0$$
であるので、
$$L’ = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2 + \dot{y}^2) – mgy + \lambda C(x,y) $$
となる。よってEuler-Lagrange方程式に代入すると運動方程式は
$$\begin{align}m\ddot{x} &= 2\lambda x \\ m\ddot{y} &= -mg + 2\lambda y \end{align}$$
(b)
$$\begin{align} \end{align}$$
\(\frac{d}{dt}E = 0\)を示せば良い。前問の運動方程式も用いて計算すると
$$\begin{align} \frac{d}{dt}E &= \frac{1}{2}m(2\dot{x}\ddot{x} + 2\dot{y}\ddot{y}) + mg\dot{y} \\ &= \dot{x}\cdot 2\lambda x + \dot{y}\cdot (-mg + 2\lambda y) + mg\dot{y} \\ &= 2\lambda (x\dot{x} +y\dot{y} )\end{align}$$
が得られる。ここで、拘束条件を\(t\)で微分すると
$$x\dot{x} +y\dot{y} = 0$$
が得られるので、
$$\frac{d}{dt}E = 0$$
(c)
$$x\dot{x} +y\dot{y} = 0$$
この式をもう一度微分して計算すると
$$\begin{align}\dot{x}^2 +\dot{y}^2 + {x}\ddot{x} + {y}\ddot{y} = 0 \end{align}$$
$$\begin{align}m(\dot{x}^2 +\dot{y}^2) + {x}\cdot 2\lambda x + {y}\cdot (-mg + 2\lambda y) = 0 \end{align}$$
が得られ、\(x^2 + y^2 = a^2\)であるので
$$-m(\dot{x}^2 +\dot{y}^2) + mgy = 2\lambda a^2$$
(d)
\(\dot{x}^2 +\dot{y}^2\)を消去するために、エネルギー保存を考える。初期条件\(E = mga\)より
$$\frac{1}{2}m(\dot{x}^2 + \dot{y}^2) + mgy = mga$$
$$m(\dot{x}^2 + \dot{y}^2) = 2mg(a-y)$$
であるので、前問の式に代入すると
$$-2mg(a-y) + mgy = 2\lambda a^2$$
$$\lambda = \frac{mg}{2a^2}(3y – 2a)$$
(e)
\(\lambda\)は質点にかかる抗力を表すので、円盤から離れる場合
$$\lambda = 0$$
(f)
\(\lambda = 0\)のとき\(y = \frac{2}{3}a\)であり、\(x^2 + y^2 = a^2\)から\(x = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}a\)となる。
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