【院試解答】令和元年度　東工大理学院物理学系　午前第1問

Youtubeでも説明しています。

$$\begin{align} m(\ddot{r} – r\dot{\phi}^2) &= – \frac{GMm}{r^2}\tag{1} \\ m \frac{1}{r}\frac{d}{dt}(r^2\dot{\phi}) &= 0 \tag{2}\end{align}$$

　式(2)より

$$\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\phi}) = 0 \rightarrow mr^2\dot{\phi} = L ({\rm const})$$

$$m\ddot{r} = -\frac{dU}{dr}$$

前問の結果から

$$\dot{\phi} = \frac{L}{mr^2}$$

であるので、これを式(1)に代入して整理すると

$$\begin{align} m \left(\ddot{r} – r\cdot \frac{L^2}{m^2r^4}\right) = – \frac{GMm}{r^2}\end{align}$$

$$\begin{align} m \ddot{r} &= \frac{L^2}{mr^3}- \frac{GMm}{r^2} \\ & = -\frac{d}{dr} \left( \frac{L^2}{2mr^2}- \frac{GMm}{r} + A\right)\end{align}$$

となるので、

$$U = \frac{L^2}{2mr^2}- \frac{GMm}{r} + A \hspace{4mm}(A : {\rm const})$$

が得られる。ここで\(U(r \rightarrow \infty ) =A = 0\)なので

$$U = \frac{L^2}{2mr^2}- \frac{GMm}{r} $$

　エネルギー保存則

$$\frac{1}{2}m\dot{r}^2 + U = E_1$$

及び角運動量保存則が成り立つ。楕円の近日点、遠日点では\(\dot{r} = 0\)なので

$$ \frac{L_1^2}{2mr^2}- \frac{GMm}{r} = E_1 (<0)$$

が成り立つ。これを変形して\(r\)について解くと

$$r^2 + \frac{GMm}{E_1}r – \frac{L_1^2}{2mE_1} = 0$$

$$r_{\pm}= \frac{1}{2} \left\{- \frac{GMm}{E_1} \pm \sqrt{\left( \frac{GMm}{E_1}\right)^2 + \frac{2L_1^2}{mE_1}}\right\}$$

となる。よって長軸半径は

$$\frac{1}{2}(r_+ + r_-) =- \frac{GMm}{E_1}$$

　遠日点で円軌道になるので、\(r = r_+\)（一定）。このとき運動方程式は

$$\begin{align} m r_+\dot{\phi}^2&= \frac{GMm}{r_+^2}\tag{3} \\ m \frac{1}{r_+}\frac{d}{dt}(r_+^2\dot{\phi}) &= 0 \tag{4}\end{align}$$

となる(\(\dot{r} = 0\))。式(4)より

$$r_+\dot{\phi} = v \hspace{4mm} (v:{\rm const})$$

であり、これを式(3)に代入して

$$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{2r_+}$$

が得られる。よって、全エネルギー\(E_2\)は

$$\begin{align} E_2 &= \frac{1}{2}mv^2 – \frac{GMm}{r_+} \\ &= \frac{GMm}{2r_+} – \frac{GMm}{r_+} = – \frac{GMm}{2r_+}\end{align}$$

$$U_1 = \frac{L_1^2}{2mr^2}- \frac{GMm}{r}$$

$$U_2 =- \frac{GMm}{r}$$

　問題文より、\(r_+ = r_2\)としてある。