【院試解答】平成31年度　九大院理学府　物理学専攻　II[C]

　マクスウェル方程式より

$$\begin{align}
\nabla \times (\nabla \times {\bf E}) &= -\mu \frac{\partial }{\partial t} (\nabla \times {\bf H})\\
-\nabla^2 {\bf E} &= -\mu \frac{\partial }{\partial t} \left(\sigma {\bf E } + \varepsilon \frac{\partial {\bf E}}{\partial t} \right) \\
\therefore \nabla^2 {\bf E} &= \mu\sigma\frac{\partial {\bf E}}{\partial t} + \mu\varepsilon\frac{\partial^2 {\bf E}}{\partial t^2}
\end{align}$$

$$E_x = E_0 e^{i(\omega t – \kappa z)}$$

を電信方程式に代入して整理すると

$$\kappa^2 = \mu\varepsilon\omega^2 – i \mu\sigma\omega $$

　\(\kappa = \beta – i\alpha\)の両辺を2乗すると

$$\kappa^2 = (\beta^2 – \alpha^2) – i (2\alpha\beta)$$

となる。前問の結果と比較すると

$$\begin{align} \beta^2 – \alpha^2 &= \mu\varepsilon\omega^2 \\
2\alpha\beta &= \mu\sigma\omega
\end{align}$$

が成り立つ。まず、2式から\(\beta\)を消去して

$$\begin{align} 4\alpha^4 + 4 \mu\varepsilon\omega^2 \alpha^2 – (\mu\sigma\omega )^2 = 0
\end{align}$$

が得られ、解の公式より

$$\begin{align}
\alpha^2 &= \frac{-2\mu\varepsilon\omega^2 + \sqrt{(2\mu\varepsilon\omega^2)^2 + 4(\mu\sigma\omega)}}{4}\\
&=\frac{ \mu\varepsilon\omega^2}{2} \left(\sqrt{1 + \left(\frac{\sigma}{\varepsilon\omega} \right)^2}-1 \right)
\end{align}$$

が得られる。よって

$$\beta^2 = \frac{ \mu\varepsilon\omega^2}{2} \left(\sqrt{1 + \left(\frac{\sigma}{\varepsilon\omega} \right)^2}+1 \right)$$

　\(\varepsilon \omega \ll \sigma\)のとき、

$$\begin{align}
\alpha^2 &\simeq \frac{ \mu\varepsilon\omega^2}{2} \cdot \frac{\sigma}{\varepsilon\omega} \\
&= \frac{\mu\sigma \omega}{2}\\
\beta & \simeq \frac{\mu\sigma \omega}{2}
\end{align}$$

と近似でき、

$$\begin{align}
\alpha &\simeq \sqrt{\frac{\mu\sigma \omega}{2}}\\
\beta &\simeq \sqrt{\frac{\mu\sigma \omega}{2}}\\
\end{align}$$

が得られる。

　前問より

$$\kappa = \sqrt{\frac{\mu\sigma \omega}{2}}- i\sqrt{\frac{\mu\sigma \omega}{2}}$$

が得られるので、電場は

$$\begin{align} E_x &= E_0 \exp \left[ i\omega t – \left( \sqrt{\frac{\mu\sigma \omega}{2}}- i\sqrt{\frac{\mu\sigma \omega}{2} }\right)z\right]\\
&= E_0 \exp \left[- \sqrt{\frac{\mu\sigma \omega}{2}}z\right]\exp \left[ i\left(\omega t + \sqrt{\frac{\mu\sigma \omega}{2} }z\right)\right]
\end{align}$$

のように振幅部分と位相部分に分けられる。\(E_0/e = E_0e^{-1}\)となるときの\(z\)は

$$\delta = \sqrt{\frac{2}{\mu\sigma \omega} }$$

である。