A-I
$$S[q] = \int^{t_2}_{t_1} L(q,\dot{q})dt$$
(1)
初期状態、最終状態の一般化座標は変わらない。
$$\delta q(t_1) = \delta q(t_2) = 0$$
(2)
$$L(q +\delta q, \dot{q} +\delta \dot{q}) \simeq L(q,\dot{q}) + \frac{\partial L}{\partial q} \delta q + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta \dot{q}$$
(3)
$$\begin{align} \delta S[q] &= \int^{t_2}_{t_1} \left( \frac{\partial L}{\partial q} \delta q + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta \dot{q}\right) dt \end{align}$$
ここで、第2項を部分積分すると
$$\begin{align}\int^{t_2}_{t_1} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta \dot{q} dt &= \left[ \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta q\right]^{t_2}_{t_1} – \int^{t_2}_{t_1}\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta q dt \\&= – \int^{t_2}_{t_1}\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta q dt\end{align}$$
となるので、
$$\begin{align} \delta S[q] = \int^{t_2}_{t_1} \left( \frac{\partial L}{\partial q} – \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right) \delta q dt = 0\end{align}$$
となる。従って、オイラー・ラグランジュ方程式
$$\frac{\partial L}{\partial q} – \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = 0$$
が得られる。
A-II
(1)
$$L(q,\dot{q}) = \frac{1}{2}m\dot{q}^2 – \frac{1}{2}kq^2$$
(2)
$$m\ddot{q} = -kq$$
(3)
$$\begin{align}E(t) &= \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\dot{q} – L(q,\dot{q})\\ &= m\dot{q}^2 – L(q,\dot{q}) \\ &= \frac{1}{2}m\dot{q}^2 + \frac{1}{2}kq^2\end{align}$$
また、運動方程式を用いて
$$\begin{align} \frac{d}{dt}E(t) &= m\ddot{q}\dot{q} + kq\dot{q} \\ &= (m\ddot{q} +kq )\dot{q} = 0\end{align}$$
(4)
$$q(t) = A\cos(\omega t + \phi) \hspace{5mm} \left( \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\right)$$
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