Youtubeでも説明しています。
問１
$$\begin{align}\vec{{\rm OC}} &= R(\sin\theta , \cos\theta) \\ \vec{{\rm CP}} &= R\theta(-\cos\theta , \sin\theta)\end{align}$$
より、
$$\begin{align}\vec{{\rm OP}} &= \vec{{\rm OC}} + \vec{{\rm CP}} \\ &= R(\sin\theta – \theta \cos\theta, \cos\theta + \theta\sin\theta) \end{align}$$
問２
$$\vec{v} = \frac{d}{dt} \vec{{\rm OP}}$$
なので、
$$\begin{align} \end{align}$$
$$\begin{align} v_x = R(\dot{\theta}\cos\theta – \dot{\theta}\cos\theta + \theta\dot{\theta}\sin\theta) = R\theta\dot{\theta}\sin\theta\end{align}$$
$$\begin{align} v_y = R(-\dot{\theta}\sin\theta + \dot{\theta}\sin\theta + \theta\dot{\theta}\cos\theta) = R\theta\dot{\theta}\cos\theta\end{align}$$
問３
$$\begin{align} \mathcal{L} = \frac{m}{2}(v_x^2 + v_y^2) = \frac{m}{2}(R\theta\dot{\theta})^2\end{align}$$
問４
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}} \right) = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\theta}}$$
これに先ほどのラグラジアンを代入
$$\frac{d}{dt} (\theta^2 \dot{\theta}) + \theta\dot{\theta}^2 = 0$$
$$\dot{\theta}^2+\theta\ddot{\theta} = 0$$
問５
前問の運動方程式を変形して
$$\frac{\ddot{\theta}}{\dot{\theta}} = – \frac{\dot{\theta}}{{\theta}}$$
となり、両辺を\(t\)で積分して整理していくと
$$\begin{align} \ln \dot{\theta} &=\ln {\theta} + A’ \hspace{4mm}(A : {\rm const})\\ \dot{\theta}{\theta} &= A \hspace{4mm}(A = e^{A’})\tag{*}\end{align}$$
が得られ、もう一度\(t\)で積分して
$$\begin{align} {\theta}^2 &=2At + B\hspace{4mm}(B : {\rm const})\\ {\theta} &= \sqrt{2At + B}\end{align}$$
となる。初期条件\(\theta(t=0) = 0\)より、\(B=0\)。また、
$$\begin{align} v(t=0) &= v_0 = R\theta \dot{\theta} \\ \theta \dot{\theta} = \frac{v_0}{R}\end{align}$$
である。式(\(*\))と比較して\(A = \frac{v_0}{R}\)である。従って、
$${\theta} = \sqrt{2\frac{v_0}{R}t}$$
問6
$$\begin{align}|\vec{L}|&= |\vec{r} \times m\vec{v}|\\ &= \left|\vec{{\rm OP}} \times m\frac{d}{dt}\vec{{\rm OP}} \right|\end{align}$$
ここで、\(\vec{{\rm OP}} = \vec{{\rm OC}} + \vec{{\rm CP}}\)であり、\(\vec{{\rm OC}} // \frac{d}{dt}\vec{{\rm OP}}\)なので
$$\begin{align}|\vec{L}| &= \left|\vec{{\rm CP}} \times m\frac{d}{dt}\vec{{\rm OP}} \right| \\ &= mR^2\theta^2 \dot{\theta}^2\end{align}$$
が得られる。これを用いて
$$\begin{align}\frac{d}{dt}\vec{L} &= mR^2 (2\theta\dot{\theta}^2 + \theta^2 \ddot{\theta}) \propto \frac{1}{\sqrt{t}} \neq 0\end{align}$$
となるので、角運動量は保存しない。
問7
$$\begin{align} \frac{d}{dt}E =\frac{1}{2}m\frac{d}{dt}|\vec{v}|^2 = mv\dot{v} \end{align}$$
ここで
$$\dot{v} = \frac{d}{dt} (R\theta \dot{\theta}) = R(\dot{\theta}^2+\theta\ddot{\theta})$$
となり、\(\theta\)についてのラグランジュ方程式より
$$\dot{v} = 0$$
となる。よって運動エネルギーは保存する。
問8
ラグラジアンは、質点の運動エネルギーと円柱の回転エネルギーの和
$$\mathcal{L} = \frac{1}{2}m|\vec{v}|^2 + \frac{1}{2}I\dot{\psi}^2$$
と書ける。まずは運動エネルギーを計算する。
問１の系からさらに\(\psi\)回転させた場合を考えれば良い（ただし糸の長さは同じ）ので
$$\begin{align}\vec{{\rm OC}} &= R(\sin(\theta+\psi) , \cos(\theta+\psi)) \\ \vec{{\rm CP}} &= R\theta(-\cos(\theta+\psi) , \sin(\theta+\psi))\end{align}$$
より、
$$\begin{align}\vec{{\rm OP}} &= \vec{{\rm OC}} + \vec{{\rm CP}} \\ &= R(\sin(\theta+\psi) – \theta \cos(\theta+\psi), \cos(\theta+\psi) + \theta\sin(\theta+\psi)) \end{align}$$
が得られる。ここから
$$\begin{align} v_x &= R \left\{(\dot{\theta} + \dot{\psi}) \cos(\theta+\psi) – \dot{\theta}\cos(\theta+\psi) + \theta (\dot{\theta} + \dot{\psi}) \sin(\theta+\psi)\right\} \\ &= R\left\{ \dot{\psi}\cos(\theta+\psi) + \theta (\dot{\theta} + \dot{\psi}) \sin(\theta+\psi)\right\}\end{align}$$
$$\begin{align} v_y &= R \left\{-(\dot{\theta} + \dot{\psi}) \sin(\theta+\psi) + \dot{\theta}\sin(\theta+\psi) + \theta (\dot{\theta} + \dot{\psi}) \cos(\theta+\psi)\right\} \\ &= R\left\{ -\dot{\psi}\sin(\theta+\psi) + \theta (\dot{\theta} + \dot{\psi}) \cos(\theta+\psi)\right\}\end{align}$$
となるので、
$$|\vec{v}|^2 = v_x^2 + v_y^2 = R^2 \left\{\dot{\psi}^2 + \theta^2 (\dot{\theta} + \dot{\psi})^2\right\}$$
が得られる。従ってラグラジアンは
$$\mathcal{L} = \frac{1}{2}mR^2 \left\{\dot{\psi}^2 + \theta^2 (\dot{\theta} + \dot{\psi})^2\right\} + \frac{1}{2}I\dot{\psi}^2$$
問９
- \(\theta\)について
$$\frac{d}{dt}\left\{mR^2\theta^2 (\dot{\theta} + \dot{\psi})\right\} = mR^2{\theta}(\dot{\theta} + \dot{\psi})^2 $$
- \(\psi\)について
$$\frac{d}{dt}\left\{I\dot{\psi} + mR^2(\dot{\psi} + \theta^2(\dot{\theta} + \dot{\psi}))\right\} =0 $$
問10
\(\psi\)についてのラグランジュ方程式より、
$$Q = I\dot{\psi} + mR^2(\dot{\psi} + \theta^2(\dot{\theta} + \dot{\psi}))$$
が保存量である。これは質点と円柱の全角運動量を表す。
問11
前問より\(Q\)は保存量であり、\(t=0\)で\(Q=0\)であるので、
$$ I\dot{\psi} + mR^2(\dot{\psi} + \theta^2(\dot{\theta} + \dot{\psi})) = 0$$
が成り立つ。変形すると
$$\dot{\psi} = – \frac{mR^2\theta^2 \dot{\theta}}{I + mR^2(1+\theta^2)}$$
となる。\(\theta,\dot{\theta}>0\)より\(\dot{\psi} < 0\)であるので、円柱は反時計まわりに回転する。
問12
摩擦がないので系の全エネルギーが保存し、かつ円柱の運動エネルギーは変化する。よって、質点の運動エネルギーは保存しない。
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