問１
小球は半径\(a+R\)の円周上を動く。
接線方向は
$$M(a+R) \ddot{\theta} = Mg\sin\theta – F \tag{1}$$
であり、法線方向は
\[M(a+R) \dot{\theta}^2 = Mg\cos\theta – N \tag{2}\]
が成り立つ。
問２
慣性モーメント\(I = \frac{2}{5}a^2M\)を用いて、
$$I \dot{\omega} = Fa \tag{3}$$
が成り立つ。
問３
滑らずに転がる小球では
$$(a+R)\dot{\theta} = a\omega \tag{4}$$
が成り立つ。
力学的エネルギー保存則より
$$\begin{align} Mg(a+R)&=Mg(a+R)\cos\theta+\frac{1}{2}M(a\omega)^2+\frac{1}{2}I\omega^2\\ &=Mg(a+R) \cos\theta + \frac{7}{10}M(a\omega)^2\end{align}$$
が成り立つ。これより
\[(a\omega)^2=\frac{10}{7}g(a+R)(1-\cos\theta)\]
が成り立ち、式(4)を代入して整理すると
$$\dot{\theta}^2 =\frac{10g(1-\cos\theta)}{7(a+R)}$$
が得られる。
問４
\(F = \mu N\)が成り立つ角度が\(\theta_s\)である。そのために\(F\)と\(N\)を\(\theta\)の関数として表す。まず、前問の結果より
$$(a+R)\dot{\theta}^2 = \frac{10g(1-\cos\theta)}{7}$$
が得られる。これを式(2)に代入すると
$$\frac{10Mg}{7}(1-\cos\theta) = Mg\cos\theta – N $$
$$\therefore N = \frac{Mg}{7}(17\cos\theta – 10)$$
となる。また、式(3),(4)より
$$ M(a+R) \ddot{\theta} = \frac{5}{2}F$$
が得られ、これを式(1)に代入すると
$$F = \frac{2}{7}Mg\sin\theta$$
が得られる。
よって
$$ \frac{2}{7}Mg\sin\theta_s = \frac{\mu Mg}{7}(17\cos\theta_s – 10)$$
$$\therefore \mu = \frac{2\sin\theta_s }{17\cos\theta_s – 10}$$
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