(1)〜(4)については、Youtubeで説明しています
（いずれまとめますが、教科書とかに載ってると思います。）
2 つの独立した調和振動子
$$H_2 = \frac{1}{2m}p_+^2 + \frac{1}{2m}p_-^2 + \frac{m\omega_+^2}{2}x_+^2 + \frac{m\omega_-^2}{2}x_-^2 \tag{1}$$
(5)
$$\omega_+ = \omega , \omega_- = 2\omega$$
エネルギー固有値は
$$\begin{align}E = {\hbar\omega }\left(n_+ + \frac{1}{2} \right) + {2\hbar\omega }\left(n_+ + \frac{1}{2} \right) = {\hbar\omega }\left(n_+ + 2n_- + \frac{3}{2} \right)\end{align}$$
となる。よって
(6)
$$J_+ = \hbar a_+^{\dagger}a_- , J_- = \hbar a_-^{\dagger}a_+ , J_z = \frac{\hbar}{2}(a_+^{\dagger}a_+ – a_-^{\dagger}a_-)$$
$$\begin{align} [J_+, J_-] &= \hbar^2 a_+^{\dagger}a_- a_-^{\dagger}a_+- \hbar^2a_-^{\dagger}a_+a_+^{\dagger}a_- \\ &= \hbar^2 a_+^{\dagger}(a_-^{\dagger}a_- + 1)a_+- \hbar^2a_-^{\dagger}(a_+^{\dagger}a_+ + 1)a_- \\ &= \hbar^2 (a_+^{\dagger}a_+ -a_-^{\dagger}a_-) + \hbar^2 (a_+^{\dagger}a_-^{\dagger}a_-a_+ – a_-^{\dagger}a_+^{\dagger}a_+a_-)\end{align}$$
右辺第3,4項について、\(+\)と\(-\)は常に交換するので
$$a_+^{\dagger}a_-^{\dagger}a_-a_+ – a_-^{\dagger}a_+^{\dagger}a_+a_- = a_-^{\dagger}a_+^{\dagger}a_+a_- -a^{\dagger}a_+^{\dagger}a_+a_- = 0$$
であるので
$$[J_+, J_-] = 2\hbar \cdot \frac{\hbar}{2} (a_+^{\dagger}a_+ -a_-^{\dagger}a_-) = 2\hbar J_z$$
(7)
$$N_+ = a_+^{\dagger}a_+ , N_- = a_-^{\dagger}a_- , N = N_+ + N_-$$
$$\begin{align}J^2 &= J_z^2 + \frac{1}{2}(J_+J_- + J_-J_+) \\ &= J_z^2 + \frac{1}{2}(2\hbar J_z + 2J_-J_+)\\&= \frac{\hbar^2}{4}(N_+ -N_-)^2 + \frac{\hbar^2}{2} (N_+ – N_-) + J_-J_+\end{align}$$
ここで、
$$\begin{align}J_-J_+ &= \hbar^2 a_-^{\dagger}a_+ a_+^{\dagger}a_- \\ &=\hbar^2 a_+a_+^{\dagger} a_-^{\dagger}a_- \\ &= \hbar^2 (a_+^{\dagger}a_+ + 1)a_-^{\dagger}a_-\\ &= \hbar^2 N_+N_- + \hbar^2 N_-\end{align}$$
となるので、
$$\begin{align}J^2 &= \frac{\hbar^2}{4} (N_+ + N_-)^2 + \frac{\hbar^2}{2} (N_+ + N_-) \\ &= \frac{\hbar^2}{4}N(N+2)\end{align}$$
コメント